Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Реферат: Граничные условия общего вида

План.

1. Сопряженный оператор.

2. Сопряженная однородная задача.

3. Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

Обозначим через Реферат: Граничные условия общего вида дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

Реферат: Граничные условия общего вида (1)

где Реферат: Граничные условия общего вида представляют

собой непрерывные функции в промежутке Реферат: Граничные условия общего вида

. Если Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида

- дважды непрерывно дифференцируемые на Реферат: Граничные условия общего вида

функции, то имеем:

Реферат: Граничные условия общего вида (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

Реферат: Граничные условия общего вида

(3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в

правой части (3) через Реферат: Граничные условия общего вида

, т.е.

Реферат: Граничные условия общего вида

(4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

Реферат: Граничные условия общего вида (5)

Оператор Реферат: Граничные условия общего вида называется

сопряженным по отношению к оператору Реферат: Граничные условия общего вида

. Умножая соотношение (4) на Реферат: Граничные условия общего вида

и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору Реферат: Граничные условия общего вида

. Таким образом, операторы Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида взаимно

сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

Реферат: Граничные условия общего вида (6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

Реферат: Граничные условия общего вида (7)

Если же Реферат: Граничные условия общего вида , то

оператор Реферат: Граничные условия общего вида и

дифференциальное уравнение Реферат: Граничные условия общего вида

будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу,

что Реферат: Граничные условия общего вида тогда и

только, когда:

Реферат: Граничные условия общего вида

Таким образом, оператор Реферат: Граничные условия общего вида будем самосопряженным тогда и только тогда, когда Реферат: Граничные условия общего вида .

При этом:

Реферат: Граничные условия общего вида

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в

самосопряженную форму, умножив на функцию Реферат: Граничные условия общего вида

.

Дифференцируя соотношение (5) по Реферат: Граничные условия общего вида , получаем так называемую формулу Лагранжа:

Реферат: Граничные условия общего вида (8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

Реферат: Граничные условия общего вида

(9)

где

Реферат: Граничные условия общего вида Реферат: Граничные условия общего вида Реферат: Граничные условия общего вида (10)

Отметим, что:

Реферат: Граничные условия общего вида и следовательно,

матрица Реферат: Граничные условия общего вида

-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

Реферат: Граничные условия общего вида (11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование Реферат: Граничные условия общего вида в вектор Реферат: Граничные условия общего вида :

Реферат: Граничные условия общего вида Реферат: Граничные условия общего вида (12),

где

Реферат: Граничные условия общего вида Реферат: Граничные условия общего вида

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным

множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом

векторе Реферат: Граничные условия общего вида две

последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые

значения компонентамРеферат: Граничные условия общего вида

. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных

граничных условий. Поскольку Реферат: Граничные условия общего вида

, мы можем обратить преобразование (12) и получить:

Реферат: Граничные условия общего вида .

При этом (11) можно переписать как:

Реферат: Граничные условия общего вида

или

Реферат: Граничные условия общего вида (13),

где Реферат: Граничные условия общего вида (14)

Билинейная форма Реферат: Граничные условия общего вида в

соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в

правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в

соотношении (13)

Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида и получим:

Реферат: Граничные условия общего вида (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны

равенствам:

Реферат: Граничные условия общего вида (16)

Реферат: Граничные условия общего вида (17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

Реферат: Граничные условия общего вида (18)

При ненулевом векторе Реферат: Граничные условия общего вида

последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида принимали любые

требуемые значения, лишь бы Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида не обращались в

нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из

условия Реферат: Граничные условия общего вида . При этом

из соотношения (11) следует, что Реферат: Граничные условия общего вида

. Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы

выполнялись равенства Реферат: Граничные условия общего вида

. При этом из соотношения (11) вытекает, что Реферат: Граничные условия общего вида

. Таким образом, задача, сопряженная задаче Реферат: Граничные условия общего вида

(19)

имеет вид:

Реферат: Граничные условия общего вида (20)

где Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида

связаны с компонентами Реферат: Граничные условия общего вида

вектора Реферат: Граничные условия общего вида

соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только

тогда, когда Реферат: Граничные условия общего вида и

каждая из двух компонент Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида является линейной

комбинацией Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида

, т.е. Реферат: Граничные условия общего вида

пропорциональна Реферат: Граничные условия общего вида .

Один из определителей:

Реферат: Граничные условия общего вида

матриц-блоков

Реферат: Граничные условия общего вида

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с

теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что Реферат: Граничные условия общего вида

. Далее, выберем такие Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида , чтобы строки

матрицы А были линейно независимы.

Например, положим Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида .

При этом матрица А примет вид:

Реферат: Граничные условия общего вида (21).

Из формулы (19) следует, что Реферат: Граничные условия общего вида .

Тогда

Реферат: Граничные условия общего вида (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Реферат: Граничные условия общего вида

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

Реферат: Граничные условия общего вида

(22)

Реферат: Граничные условия общего вида

(23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы Реферат: Граничные условия общего вида

и чтобы каждая из компонент Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида являлась линейной

комбинацией Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида

. Как указывалось выше, Реферат: Граничные условия общего вида

тогда и только тогда, когда Реферат: Граничные условия общего вида

. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

Реферат: Граничные условия общего вида (24)

Разрешая равенства относительно Реферат: Граничные условия общего вида и Реферат: Граничные условия общего вида при Реферат: Граничные условия общего вида и заменяя Реферат: Граничные условия общего вида на Реферат: Граничные условия общего вида , получаем:

Реферат: Граничные условия общего вида (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и

только тогда, когда:

Реферат: Граничные условия общего вида (26)

Краевая задача при Реферат: Граничные условия общего вида

самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство Реферат: Граничные условия общего вида

.

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи.

Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

Реферат: Граничные условия общего вида (27)

Реферат: Граничные условия общего вида ,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

Реферат: Граничные условия общего вида (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь Реферат: Граничные условия общего вида

и Реферат: Граничные условия общего вида с вектором Реферат: Граничные условия общего вида

, описываемую формулой (14а) т.е.:

Реферат: Граничные условия общего вида (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

Реферат: Граничные условия общего вида

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо

два из граничных значений через два других.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011