Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц

Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова Математический факультет Кафедра геометрии и высшей алгебры Лакунова Залина Дипломная работа «О некоторых применениях алгебры матриц» Научный руководитель: д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев / Рецензент: к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/ Допущена к защите 2002г. Заведующий кафедрой к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/ Нальчик 2002 Оглавление стр. Введение 3 §1. О правиле Крамера 4 §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9 §3. Матричный вывод формулы Кардано 17 Литература 21 Отзыв О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц». Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З. В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней. В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем. В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел. В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка). Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите. Предварительная оценка – «хорошо» д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/ §1. О правиле Крамера В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц линейных уравнений с неизвестными Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (1) Определитель которой отличен от нуля: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (2) Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (3) где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (4) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - столбец (Матрица-столбец) неизвестных Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - столбец свободных членов системы (1) Так как Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , то матрица Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц невырожденная и для нее существует обратная матрица Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Умножив равенство (3) на Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - ее решение) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , где обратная матрица Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц имеет вид: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц -алгебраическое дополнение элемента Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц в определителе Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ) Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании. Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц. Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Очевидно, что при Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)): Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц получим формулы Крамера: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (Правило Крамера) Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц с определителем Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц получается из единичной матрицы заменой Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц -го столбца столбцом неизвестных: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (5) Теперь из Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц равенств Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - матрица, получающаяся заменой Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - го столбца матрицы Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , откуда ввиду Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц имеем Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (здесь Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц получается из Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , как и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц из Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ). Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ): пусть система (1) совместна и числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц имеем, используя два линейных свойства определителя: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Можно начать и с определителя Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , в котором вместо свободных членов в Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ), откуда и получаются формулы Крамера. Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов. §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел. Матрица вида: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом. Пусть дан циклический определитель (Циркулянт) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Прибавив первые две строки к третьей, получим: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Вынесем общий множитель Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц из последней строки: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Так как Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , то Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . С другой стороны, по определению детерминанта имеем: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Следовательно, выполняется тождество Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (1) Имеет место следующее предложение. Предложение 1. Уравнение Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (2) не имеет решений в натуральных числах Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Доказательство: Если Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (3) Пусть Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , не все равные между собой, такие, что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно, Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (4) Так как Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического). Пусть Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу. В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , и мы имели бы: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - противоречие. Значит, не все три числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , откуда Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Таким образом, доказано что уравнение Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц не имеет решений в натуральных числах Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Предложение 2. Уравнение Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц разрешимо в натуральных числах Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - противоречие. Таким образом, должно быть Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Поэтому получаем Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов. Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (5) Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов. Доказательство: Пусть число Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц делится на простое число Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц вида Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц : Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Требуется доказать, что частное Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц имеет вид Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Предположим, что задача уже решена, т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (6) и с помощью анализа попробуем найти искомые числа Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц перемножив правые части этих равенств, получим: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц отсюда имеем: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (7) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (8) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (9) Так как Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - простое число и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц делит Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , то равенство (9) показывает, что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц или Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц делится на Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Пусть Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . Тогда из тождества Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , верного в силу (5) следует, что на Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц делится и число Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , а поскольку Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - простое, Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , так что в силу (7) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Предложение 4 доказано. Если же Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , т.е. в силу (8) Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ; отсюда следует, что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - целое. В этом случае Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . §3. Матричный вывод формулы Кардано В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения. Пусть дано любое кубическое уравнение Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (1) Если Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - его корень, то Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , поэтому Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц . (2) Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (3) которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (4) получим: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (5) где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц определяются по заданным коэффициентам Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (6) называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (7) где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - любые числа, Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц - один из корней третьей степени из единицы, так что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (проверка тождества опирается на равенство Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц , (8) т.е. положим Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц которая показывает (в силу теоремы Виета), что Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц являются корнями квадратного уравнения Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и поэтому Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (9) Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и теперь получаем: Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (10) где Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц ; если одна пара значений Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц и Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц выбрана указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц определяются из равенства Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц т.е. Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц (11) причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов. Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано. ЛИТЕРАТУРА 1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г. 2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г. 3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г. 4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г. 5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г. 6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011