Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Диплом: Когомологии де Рама

Министерство образования Российской Федерации. Саратовский Государственный Университет имени Н.Г.Чернышевского. кафедра геометрии. Когомологии де Рама. Дипломная работа Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522, **************************************************************** Научный руководитель: ************* Зав. кафедрой: ***************** Саратов, 2004 Оглавление. Введение................................3 1. Цепи и интегрирование........................4 1.1 р-мерные симплексы и их свойства..............4 1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы....7 1.3 Интегралы по р-мерным цепям................11 1.4 Теорема Стокса.....................13 2. Нульмерные и n-мерные когомологии...............15 2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии...16 2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.....19 Литература..........................24

Введение.

Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные когомологии обоих типов для n-мерных многообразий. Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из четырех пунктов, второй – из двух. В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства. В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса. Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с компактным носителем на многообразии.

Раздел 1. Цепи и интегрирование.

1.1 р-мерные симплексы и их свойства.

Определение: p-мерным симплексом Диплом: Когомологии де Рама в р-мерном пространстве Диплом: Когомологии де Рама будем называть объект, определенный неравенствами Диплом: Когомологии де Рама , Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим примеры р-мерного симплекса. р=1, тогда получаем Диплом: Когомологии де Рама - то есть отрезок [0,1] Диплом: Когомологии де Рама р=2, тогда Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник Диплом: Когомологии де Рама р=3, тогда Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр. Диплом: Когомологии де Рама Для удобства введем в симплексе Диплом: Когомологии де Рама так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими формулами Диплом: Когомологии де Рама , тогда Диплом: Когомологии де Рама Определение. Отображение Диплом: Когомологии де Рама симплекса Диплом: Когомологии де Рама в Диплом: Когомологии де Рама определяется формулой

(1.1)

Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама - барицентрические координаты в Диплом: Когомологии де Рама . По определению Диплом: Когомологии де Рама , то формула (1.1) действительно определяет отображение Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого отображения симплекса Диплом: Когомологии де Рама в пространстве Диплом: Когомологии де Рама в пространство Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим образы симплекса Диплом: Когомологии де Рама в симплексе Диплом: Когомологии де Рама при данном отображении: Симплекс Диплом: Когомологии де Рама задается неравенствами Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и y0+ y1=1. Тогда при отображении Диплом: Когомологии де Рама получаем следующее: Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Таким образом, получаем следующее отображение Диплом: Когомологии де Рама Сравним отображения Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама при условии Диплом: Когомологии де Рама . Если Диплом: Когомологии де Рама - барицентрические координаты в Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама Так как Диплом: Когомологии де Рама , то можно переписать это в виде: Диплом: Когомологии де Рама С другой стороны получаем Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Отсюда получаем, что Диплом: Когомологии де Рама при условии Диплом: Когомологии де Рама

1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.

Пусть М – n-мерное многообразие класса Диплом: Когомологии де Рама со счетной базой. В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение – дифференцируемым отображением класса Диплом: Когомологии де Рама . Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М называется отображение Диплом: Когомологии де Рама , которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой окрестности симплекса Диплом: Когомологии де Рама в Диплом: Когомологии де Рама в многообразие М. Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация (с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов. Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение Диплом: Когомологии де Рама множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что множествоДиплом: Когомологии де Рама (где Диплом: Когомологии де Рама - множество тех s, для которых Диплом: Когомологии де Рама ) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется комбинация Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама , причем Диплом: Когомологии де Рама - локально конечно, что значит Диплом: Когомологии де Рама - окрестность x, такая, что U имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама . Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь является конечной. Доказательство: Пусть М – компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство, любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда Диплом: Когомологии де Рама - окрестность x, такая, что Диплом: Когомологии де Рама имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама . Так как М – компактное, то существует конечное число окрестностей Диплом: Когомологии де Рама , которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из которых имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама , получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи. Лемма доказана. Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при умножении на скаляр – соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр). Множество всех р-цепей будем обозначать Диплом: Когомологии де Рама (множество бесконечных р-цепей Диплом: Когомологии де Рама ). Если f – дифференцируемое отображение М1 в М 2 , то есть получаем Диплом: Когомологии де Рама Полагая для симплексов Диплом: Когомологии де Рама и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение Диплом: Когомологии де Рама . Для бесконечных цепей на f накладываются дополнительные условия. Отображение f называется собственным, если Диплом: Когомологии де Рама компактно для любого компактного Диплом: Когомологии де Рама . Пусть Диплом: Когомологии де Рама – собственное отображение и Диплом: Когомологии де Рама – цепь на Диплом: Когомологии де Рама , то есть Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама , (1.2) причем Диплом: Когомологии де Рама , если Диплом: Когомологии де Рама ни для какого s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как Диплом: Когомологии де Рама – симплекс на Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама – сингулярный симплекс на Диплом: Когомологии де Рама , тогда Диплом: Когомологии де Рама . Учитывая возможность того, что Диплом: Когомологии де Рама такие, что Диплом: Когомологии де Рама , и приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов t, для которых Диплом: Когомологии де Рама , локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на Диплом: Когомологии де Рама . Пусть s – р-симплекс, тогда Диплом: Когомологии де Рама - (р-1) – симплекс. Определим границу симплекса s формулой Диплом: Когомологии де Рама . То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает направление обхода границы. В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
+

Диплом: Когомологии де Рама

-

+Диплом: Когомологии де Рама

Диплом: Когомологии де Рама Продолжим Диплом: Когомологии де Рама по линейности до отображения Диплом: Когомологии де Рама . Для бесконечных цепей отображение определяется аналогично: Диплом: Когомологии де Рама , Диплом: Когомологии де Рама . То есть для каждой р-цепи с (р-1)-цепь Диплом: Когомологии де Рама сопоставляет (р-1)-мерному сингулярному симплексу t число Диплом: Когомологии де Рама . Тогда и в случае конечных и в случае бесконечных цепей имеет место соотношение Диплом: Когомологии де Рама . Из определения р-цепи следует, что равенство Диплом: Когомологии де Рама достаточно доказать для любого симплекса, тогда оно верно и для любой цепи. Пусть s есть q-мерный симплекс. Если Диплом: Когомологии де Рама , то доказывать нечего. Если Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Так как Диплом: Когомологии де Рама , то в нашем случае получим Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама , если Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама положим Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Таким образом, равенство Диплом: Когомологии де Рама доказано.

1.3 Интегралы по р-мерным цепям.

Определение. р-цепь с, удовлетворяющая условию Диплом: Когомологии де Рама называется циклом; р-цепь вида Диплом: Когомологии де Рама , где d – некоторая (р+1)-цепь называется границей. Равенство Диплом: Когомологии де Рама говорит о том, что пространство границ есть подпространство пространства циклов. Определение. Факторпространство пространства циклов по пространству границ называется р-мерной группой гомологий и обозначается Диплом: Когомологии де Рама . Для бесконечных цепей р-мерная группа гомологий обозначается Диплом: Когомологии де Рама Из определения следует, что если Диплом: Когомологии де Рама , то отображение Диплом: Когомологии де Рама перестановочно с Диплом: Когомологии де Рама . Поэтому Диплом: Когомологии де Рама переводит циклы в циклы, границы в границы. Теперь рассмотрим дифференциальные формы и операцию внешнего дифференцирования Определение. Носителем формы ω называется наименьшее замкнутое множество, вне которого она равна нулю. Определение. Дифференциальная р-форма ω называется замкнутой, если Диплом: Когомологии де Рама и точной, если Диплом: Когомологии де Рама . Замкнутые формы будем называть коциклами, точные – кограницами. Из равенства Диплом: Когомологии де Рама следует, что пространство кограниц есть подпространство пространства коциклов. Определение. Факторпространство замкнутых р-форм по точным р-формам называется р-мерной группой когомологий (де Рама) многообразия М и обозначается Диплом: Когомологии де Рама Определение. Факторпространство замкнутых р-форм с компактным носителем по точным р-формам с компактным носителем называется р-мерной группой когомологий с компактным носителем многообразия М и обозначается Диплом: Когомологии де Рама Заметим, что для компактного многообразия носитель формы всегда является компактным множеством. Тогда группа когомологий совпадает с группой когомологий с компактным носителем. Определим интеграл от р-формы по р-цепи: Определение. Пусть s – сингулярный р-симплекс, а Диплом: Когомологии де Рама – дифференциальная форма степени р. Форма Диплом: Когомологии де Рама определена в некоторой окрестности евклидова р-симплекса Диплом: Когомологии де Рама . Допустим, что, Диплом: Когомологии де Рама где Диплом: Когомологии де Рама - стандартные координаты в Диплом: Когомологии де Рама . Положим по определению, Диплом: Когомологии де Рама (1.3) Продолжим (1.3) на любую конечную р-цепь по линейности. В общем случае нельзя интегрировать произвольную р-форму по бесконечной р-цепи, так как это может привести к расходящемуся бесконечному ряду. Если ω – форма с компактным носителем, то для любой бесконечной цепи Диплом: Когомологии де Рама сумма Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама имеет только конечное число ненулевых членов и поэтому определена. Пусть Диплом: Когомологии де Рама - собственное дифференцируемое отображение. Из определения следует, что Диплом: Когомологии де Рама , так как Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама .

1.4 Теорема Стокса.

Теорема Стокса. Для любой р-цепи с и (р-1)-формы Диплом: Когомологии де Рама (соответственно бесконечной р-цепи с и (р-1)-формы с компактным носителем) справедливо равенство Диплом: Когомологии де Рама Доказательство. Благодаря линейности по с обеих частей формулы Диплом: Когомологии де Рама достаточно рассмотреть случай Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама - сингулярный р-симплекс. В этом случае наша формула сводится к равенству Диплом: Когомологии де Рама , (1.4) где Диплом: Когомологии де Рама , а Диплом: Когомологии де Рама рассматривается как сингулярный (р-1)-симплекс в Диплом: Когомологии де Рама . По определению Диплом: Когомологии де Рама . Достаточно доказать формулу (1.4) для каждого члена этой суммы. Таким образом, задача сводится к проверке равенства Диплом: Когомологии де Рама . (1.5) Так как Диплом: Когомологии де Рама , то в правой части останутся только члены с Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Пусть Диплом: Когомологии де Рама – евклидовы координаты в Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . В соответствии с определениями (1.5) сводится к равенству Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Из равенства Диплом: Когомологии де Рама следует, что интегралы точной формы по циклу и замкнутой формы по границе равны нулю. Таким образом, справедливы следующие следствия: Следствие 1. Билинейное отображение Диплом: Когомологии де Рама ,определяемое интегралом Диплом: Когомологии де Рама , индуцирует билинейное отображение Диплом: Когомологии де Рама . То есть отображение Диплом: Когомологии де Рама является билинейным и не зависит от выбора представителя. Рассмотрим замкнутую р-форму ω и р-цикл с, такие что Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама . Аналогично следствию 1 получаем: Следствие 2. Билинейное отображение Диплом: Когомологии де Рама ,определяемое интегралом Диплом: Когомологии де Рама , индуцирует билинейное отображение Диплом: Когомологии де Рама .

Раздел 2. Нульмерные и n-мерные когомологии.

Согласно определению, не существует нульмерных кограниц. Поэтому нульмерная группа когомологий совпадает с группой коциклов. Но 0-форма есть просто функция, а 0-коцикл есть такая функция f, что Диплом: Когомологии де Рама , то есть локально постоянная функция. Таким образом, Диплом: Когомологии де Рама является пространством всех локально постоянных вещественных функций на М . Поскольку любая локально постоянная функция постоянна на связных компонентах многообразия М, то Диплом: Когомологии де Рама , где Со(М) есть множество компонент в М. В частности, если М связно, то Диплом: Когомологии де Рама . Функция f является компактным коциклом, если она локально постоянна и supp f компактен. Это означает, что Диплом: Когомологии де Рама на некомпактных компонентах многообразия М. Поэтому Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама есть множество компактных компонент многообразия М. В частности, если М связно, то Диплом: Когомологии де Рама для компактного многообразия М и Диплом: Когомологии де Рама для некомпактного М.

2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии.

Рассмотрим в Диплом: Когомологии де Рама шар Диплом: Когомологии де Рама радиуса r. Тогда можно вычислить Диплом: Когомологии де Рама для всех р. Именно, справедлива Теорема 2.1 (лемма Пуанкаре). Пусть w - форма степени Диплом: Когомологии де Рама , определенная на Диплом: Когомологии де Рама , и пусть Диплом: Когомологии де Рама . Тогда существует такая форма W, определенная на Диплом: Когомологии де Рама , что Диплом: Когомологии де Рама . Докажем теорему индукцией по размерности n. Для Диплом: Когомологии де Рама можно считать Диплом: Когомологии де Рама ; все другие случаи тривиальны. Если Диплом: Когомологии де Рама , то достаточно положить Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама . Сделаем следующее замечание: Лемма 2.1. Если Диплом: Когомологии де Рама =0 и Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Действительно, Диплом: Когомологии де Рама , где остальные члены не содержат Диплом: Когомологии де Рама . Перейдем к доказательству теоремы. Пусть Диплом: Когомологии де Рама – декартовы координаты в Диплом: Когомологии де Рама , и пусть Диплом: Когомологии де Рама - отображение, задаваемое формулами Диплом: Когомологии де Рама , Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама - декартовы координаты в Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама для Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Пусть р – отображение шара Диплом: Когомологии де Рама на Диплом: Когомологии де Рама , определяемое формулой Диплом: Когомологии де Рама для Диплом: Когомологии де Рама . Имеем Диплом: Когомологии де Рама . По предположению индукции Диплом: Когомологии де Рама для некоторой формы Диплом: Когомологии де Рама на Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама . Где Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама - формы от Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Определим форму W следующими условиями: 1. Диплом: Когомологии де Рама 2. Диплом: Когомологии де Рама W=0, 3. Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама В терминах координат Диплом: Когомологии де Рама условие 2. означает, что форма W может быть записана в виде Диплом: Когомологии де Рама Условие 1. означает, что Диплом: Когомологии де Рама Условие 2. означает, что Диплом: Когомологии де Рама , если Диплом: Когомологии де Рама . Отсюда видно, что существует единственная форма W, удовлетворяющая условиям 1,2,3, которая может быть найдена с помощью интегрирования по Диплом: Когомологии де Рама . Мы утверждаем, что Диплом: Когомологии де Рама . Действительно, Диплом: Когомологии де Рама . Но Диплом: Когомологии де Рама есть дифференциальная форма, не содержащая Диплом: Когомологии де Рама . Поэтому Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама не зависит от Диплом: Когомологии де Рама . Поскольку Диплом: Когомологии де Рама , мы можем применить лемму 2.1. Таким образом, Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . С другой стороны, Диплом: Когомологии де Рама . Значит, Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Другими словами, Диплом: Когомологии де Рама , что и доказывает теорему 2.1. Следствие 2.1. Диплом: Когомологии де Рама для Диплом: Когомологии де Рама . В доказательстве теоремы 2.1. коэффициенты формы W из коэффициентов формы w интегрированием. Поэтому, если коэффициенты формы w дифференцируемо зависят от некоторых дополнительных параметров, то форма W также дифференцируемо зависит от этих параметров. Следствие 2.2. Если в теореме 2.1. форма w дифференцируемо зависит от параметров, то есть Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама – дифференцируемые функции от Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама (оператор d берется по Диплом: Когомологии де Рама ), то Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама , причем Диплом: Когомологии де Рама - дифференцируемые функции всех n+l переменных.

2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.

Мы хотим вычислить Диплом: Когомологии де Рама для любого многообразия М. Лемма 2.2. Пусть w - такая n-форма, определенная на Диплом: Когомологии де Рама , что 1. suppДиплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама - куб Диплом: Когомологии де Рама 2. Диплом: Когомологии де Рама . Тогда мы можем найти такую (n-1)-форму W, что 3. suppДиплом: Когомологии де Рама , 4. Диплом: Когомологии де Рама . Доказательство: Доказательство проведем с помощью индукции. Для любой k-формы p, выраженной через Диплом: Когомологии де Рама , обозначим символом Диплом: Когомологии де Рама максимум абсолютных значений ее коэффициентов в Диплом: Когомологии де Рама . Мы будем говорить, что семейство форм Диплом: Когомологии де Рама дифференцируемо зависит от t, если каждый коэффициент есть дифференцируемая функция от Диплом: Когомологии де Рама . Здесь t обозначает s-мерный параметр, Диплом: Когомологии де Рама . Наше индуктивное предположение состоит в следующем: Пусть Диплом: Когомологии де Рама - семейство форм на Диплом: Когомологии де Рама , дифференцируемо зависящее от t. Предположим, что для каждого значения t форма Диплом: Когомологии де Рама удовлетворяет условиям 1. и 2. Тогда существует такое дифференцируемое семейство форм Диплом: Когомологии де Рама , удовлетворяющее условию 3., что Диплом: Когомологии де Рама и 5. Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама зависит только от n и r Для Диплом: Когомологии де Рама мы можем написать Диплом: Когомологии де Рама . Определим функцию Диплом: Когомологии де Рама равенством Диплом: Когомологии де Рама .Очевидно, что Диплом: Когомологии де Рама есть дифференцируемое семейство 0-форм, удовлетворяющих условиям 3., 4. и 5. Допустим, что предположение индукции выполнено для n-1. Пусть Диплом: Когомологии де Рама . И пусть Диплом: Когомологии де Рама есть положительная форма на Диплом: Когомологии де Рама , такая, что suppДиплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим формы Диплом: Когомологии де Рама на Диплом: Когомологии де Рама (зависящие от параметров Диплом: Когомологии де Рама ), определяемые формулой Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . (2.1) Они образуют дифференцируемое семейство Диплом: Когомологии де Рама -форм, удовлетворяющее предположению индукции. Кроме того, Диплом: Когомологии де Рама , если Диплом: Когомологии де Рама . Поэтому мы можем написать Диплом: Когомологии де Рама (2.2) Пусть Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама – дифференцируемые функции на Диплом: Когомологии де Рама . Определим форму Диплом: Когомологии де Рама равенством Диплом: Когомологии де Рама , так что Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама есть вложение Диплом: Когомологии де Рама , заданное формулами Диплом: Когомологии де Рама . При вычислении формы Диплом: Когомологии де Рама встретятся два типа членов: содержащие частные производные по Диплом: Когомологии де Рама содержащие частную производную по Диплом: Когомологии де Рама . Умножением на Диплом: Когомологии де Рама мы избавимся от членов, содержащих Диплом: Когомологии де Рама , и, значит для каждого значения Диплом: Когомологии де Рама будем иметь Диплом: Когомологии де Рама , где р есть проекция Диплом: Когомологии де Рама вдоль Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама . (2.3) Имеем Диплом: Когомологии де Рама . Но Диплом: Когомологии де Рама , поскольку p есть (n-1)-форма на Диплом: Когомологии де Рама . Поэтому Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . (2.4) Далее, формы Диплом: Когомологии де Рама p и Диплом: Когомологии де Рама , а значит, и форма Диплом: Когомологии де Рама обращаются в нуль при Диплом: Когомологии де Рама . Если Диплом: Когомологии де Рама или Диплом: Когомологии де Рама , то последний интеграл также обращается в нуль, поскольку Диплом: Когомологии де Рама . Форма Диплом: Когомологии де Рама обращается в нуль, если Диплом: Когомологии де Рама , так как по индуктивному предположению 5. Диплом: Когомологии де Рама при Диплом: Когомологии де Рама . Наконец, формы встречающиеся в правой части формулы (2.3), очевидно образуют дифференцируемое семейство форм и удовлетворяют оценке 5., где Диплом: Когомологии де Рама зависят от Диплом: Когомологии де Рама и от выбора j. Лемма доказана. С помощью леммы 2.2. доказывается Лемма 2.3. Если М – связное n-мерное многообразие, то Диплом: Когомологии де Рама есть либо R, либо {0} (то есть Диплом: Когомологии де Рама не более чем одномерно). Пусть Диплом: Когомологии де Рама - такой атлас на М, что каждая окрестность Диплом: Когомологии де Рама имеет вид Диплом: Когомологии де Рама . Пусть W - такая n-форма, что suppДиплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Лемма будет доказана, если для любой n-формы w с компактным носителем мы найдем такое вещественное число с, что Диплом: Когомологии де Рама , (2.5) где Диплом: Когомологии де Рама есть (n-1) -форма с компактным носителем. Пусть Диплом: Когомологии де Рама - разбиение единицы, подчиненное покрытию Диплом: Когомологии де Рама . Тогда Диплом: Когомологии де Рама - конечная сумма, и достаточно провести доказательство для каждого слагаемого в отдельности. Поэтому можно считать, что suppДиплом: Когомологии де Рама для некоторого j. Пусть р – точка из Диплом: Когомологии де Рама , а q – из Диплом: Когомологии де Рама . Пусть Диплом: Когомологии де Рама – такая кривая, что Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама . Покроем Диплом: Когомологии де Рама конечным числом окрестностей Диплом: Когомологии де Рама . Изменив, если потребуется, их нумерацию, мы можем считать, что это окрестности Диплом: Когомологии де Рама , причем Диплом: Когомологии де Рама Æ Пусть Диплом: Когомологии де Рама – такие формы, что suppДиплом: Когомологии де Рама , Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим формы Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама на Диплом: Когомологии де Рама с носителями в Диплом: Когомологии де Рама . Поскольку Диплом: Когомологии де Рама , существуют константы Диплом: Когомологии де Рама такие, что Диплом: Когомологии де Рама . По лемме 2.2. Диплом: Когомологии де Рама , (2.6) причем suppДиплом: Когомологии де Рама . Форма Диплом: Когомологии де Рама определена в Диплом: Когомологии де Рама и имеет носитель в Диплом: Когомологии де Рама . Определим на М форму Диплом: Когомологии де Рама , полагая Диплом: Когомологии де Рама вне Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама на Диплом: Когомологии де Рама . Тогда равенство (2.6) можно переписать в виде Диплом: Когомологии де Рама . (2.7) Складывая с подходящими весами равенства (2.7) при Диплом: Когомологии де Рама , мы получим равенство (2.5) , где Диплом: Когомологии де Рама .

Литература.

1. Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую топологию", Москва 2. Александров П.С., Пасынков Б.С. "Введение в теорию размерности", Москва 3. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. "Риманова геометрия", Санкт- Петербург, Наука, 1994 4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. "Современная геометрия", Москва 5. Келли Дж. "Общая топология", Москва 6. Колмогоров А.Н., Фомин В.С "Элементы теории функций и функционального анализа", Москва 7. Погорелов А.В. "Дифференциальная геометрия", Москва, Наука, 1969 8. Понтрягин Л.С. "Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий", Москва, Наука, 1984 9. Постников М.М. "Группы Ли", Москва 10. Стернберг 11. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. "Курс гомотопической топологии", Москва, Наука, 1989
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011